Пример Данжуа

Пример Данжуа — пример <math>C^1</math>-диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество (и, соответственно, не сопряжённого чистому повороту). М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости <math>C^{1+\varepsilon}</math> (то есть, <math>C^1</math> с гёльдеровой производной с показателем <math>\varepsilon</math>) для любого <math>\varepsilon<1</math>. Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной (и даже с производной, логарифм которой имеет ограниченную вариацию) имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту (на соответствующее число вращения).

Конструкция

Пример гомеоморфизма

Проще всего предъявляется пример гомеоморфизма окружности, число вращения которого иррационально, но который, тем не менее, не минимален. А именно, рассмотрим поворот <math>R</math> на некоторый иррациональный угол <math>\alpha</math>, и выберем произвольную начальную точку <math>x_0</math>. Рассмотрим её орбиту <math>x_n=R^n(x_0)</math> (при всех целых <math>n</math>, как положительных, так и отрицательных). Произведём следующую перестройку: в каждой точке <math>x_n</math> разрежем окружность и вклеим интервал <math>I_n</math> некоторой длины <math>l_n>0</math>, так, чтобы сумма длин вклеенных интервалов сходилась:

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} l_n < \infty.</math>

Тогда получившееся после такой вклейки множество по-прежнему будет окружностью, более того, на ней будет естественная мера Лебега (состоящая из меры Лебега на разрезанной старой окружности и меры Лебега на вклеенных интервалах), то есть длина — и, тем самым, гладкая структура. Произвольным образом продолжив отображение <math>R</math> со старой окружности так, чтобы оно переводило интервал <math>I_n</math> в интервал <math>I_{n+1}</math>, — например, выбрав в качестве продолжения аффинное отображение из <math>I_n</math> в <math>I_{n+1}</math>, — мы получаем гомеоморфизм f новой окружности с тем же числом вращения <math>\alpha</math>. Однако, у этого гомеоморфизма есть канторово инвариантное множество <math>K</math> (замыкание множества точек старой окружности), и потому он не может быть сопряжён иррациональному повороту.

Выбрав последовательность длин <math>l_n</math> так, чтобы последовательность отношений <math>l_n/l_{n+1}</math> оставалась ограниченной при <math>n\to\pm\infty</math>, для конструкции с аффинным продолжением можно добиться липшицевости построенного гомеоморфизма. Однако, чтобы построенное отображение было диффеоморфизмом, выбор продолжения на отрезки <math>I_n</math> следует сделать более тонко.

Пример в классе <math>C^1</math>

Пример в классе <math>C^1</math> строится так, чтобы производная построенного диффеоморфизма <math>f</math> на канторовом множестве <math>K</math> — замыкании множества точек исходной окружности — равнялась бы 1 (поскольку мера Лебега на этом множестве сохраняется построенным диффеоморфизмом, это необходимое условие при такой конструкции). Поэтому, необходимо выбирать переставляющие интервалы <math>I_n</math> ограничения <math>\varphi_n=f|_{I_n}:I_n\to I_{n+1}</math> так, чтобы выполнялись следующие условия:

• (D1) Производная <math>\varphi_n</math> в концах интервала <math>I_n</math> равна 1.
• (D2) При <math>n\to\pm\infty</math>, производные отображений <math>\varphi_n</math> равномерно стремятся к 1.

Последнее условие необходимо, так как с ростом <math>n</math> интервалы <math>I_n</math> накапливаются к канторовому множеству <math>K</math>. Более того, несложно видеть, что эти условия и достаточны для того, чтобы построенное отображение <math>f</math> было бы <math>C^1</math>-диффеоморфизмом.

В силу теоремы Лагранжа, на отрезке <math>I_n</math> найдётся точка, производная в которой будет равна <math>l_{n+1}/l_n</math>. Второе условие поэтому требует, чтобы для последовательности <math>l_n</math> имело место

<math>

\lim_{n\to\pm\infty} l_n/l_{n+1}=1. \qquad (*) </math>

Как оказывается, это условие на длины для построения <math>C^1</math>-диффеоморфизма является и достаточным. А именно, отображения <math>\varphi_n</math> выбираются следующим образом: на отрезках <math>I_n</math> и <math>I_{n+1}</math> вводятся координаты, отождествляющие их с отрезками <math>[-l_n/2, l_n/2]</math> и <math>[-l_{n+1}/2, l_{n+1}/2]</math> соответственно, и отображение <math>\varphi_n</math> выбирается как

<math>\varphi_n = F_{l_{n+1}}^{-1} \circ F_{l_n}, \qquad (**)</math>

где

<math>

F_{l}:[-l/2,l/2]\to\R, \quad F_l(x) = l \tan \frac{\pi x}{l}. \qquad (***) </math> Несложная выкладка показывает тогда, что производная <math>\varphi_n</math> в любой точке отклоняется от 1 в не больше, чем <math>\mathrm{const} \cdot |1-\frac{l_n}{l_{n+1}}|</math>, поэтому условия (*) достаточно для выполнения второго необходимого условия D2. С другой стороны, столь же несложно видеть, что условие D1 также выполнено (именно для этого тангенс в формуле (***) и умножался на l: тогда скорость ухода на бесконечность на концах это <math>1/x</math>, и не зависит от длины интервала l — поэтому композиционное частное касается тождественного отображения).

Выбор любой удовлетворяющей (*) последовательности <math>l_n</math> со сходящейся суммой — например, <math>l_n = 1/(1+n^2),</math> — и завершает построение.

Пример в классе <math>C^{1+\epsilon}</math>

Пример в классе <math>C^{1+\varepsilon}</math> предъявляется уже описанной выше конструкцией, но с более тонкими условиями на длины <math>l_n</math>. А именно, как несложно видеть, построенный диффеоморфизм будет иметь гёльдерову производную тогда и только тогда, когда производные всех ограничений <math>\varphi_n</math> равномерно по <math>n</math> гёльдеровы. Действительно, сравнивая производные в точках из разных отрезков, можно подразбить эту разность производными в промежуточных концевых точках (поскольку производная в концевой точке всегда равна 1), и воспользоваться неравенством треугольника (в худшем случае, удвоив константу Гёльдера).

Поскольку на отрезке <math>I_n</math> есть точка с производной <math>l_{n+1}/l_n</math> (по теорема Лагранжа) и есть точка, производная в которой равна 1 (это концевая точка), константа Гёльдера для показателя Гёльдера <math>\varepsilon</math> не может быть меньше, чем

<math>

(|1-\frac{l_{n+1}}{l_n})/l_n^{\varepsilon} = \frac{|l_{n+1}-l_n|}{l_n^{1+\varepsilon}}. \qquad (L) </math> Поэтому выражение (L) должно быть ограничено при <math>n\to\pm\infty</math>. Как оказывается, это условие ограниченности и достаточно — явная выкладка показывает, что точная константа Гёльдера ограничения <math>\varphi_n</math> отличается от оценки снизу (L) не более, чем в константу раз. Для завершения конструкции остаётся предъявить двусторонне-бесконечную последовательность <math>l_n</math> со сходящейся суммой, для которой выражение (L) остаётся ограниченным. Примером такой последовательности является

<math>

l_n= \frac{1}{m \ln^2 m}, \quad m=2+|n|, </math> подходящая одновременно для всех <math>\varepsilon<1</math>.

Предъявляение такой последовательности и завершает конструкцию — построенный диффеоморфизм принадлежит классу <math>C^{1+\varepsilon}</math> с любым <math> \varepsilon<1 </math>.

См. также

• Теорема Данжуа
• Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

Ссылки

• Записки Дж. Милнора Introductory Dynamics Lectures, лекция "Теорема Данжуа" (см. §15B).

Литература

• А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1
• M.Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.