Курсы в НМУ/Числа вращения и модули эллиптических кривых осень 2011

Внимание, появились задачи к экзамену! Второй срок сдачи работ — 20 февраля.

Курс читала Н. Гончарук по вторникам на 5 паре (17:30) в Независимом московском университете, ауд. 303. Последнее занятие прошло 6 декабря.

Анонс

В 1978 году В. И. Арнольд предложил красивую конструкцию, которая связывает такие совершенно разные понятия, как число вращения диффеоморфизма окружности и модуль эллиптической кривой. С помощью этой конструкции можно построить новое фрактальное множество — «пузыри Федорова». Пузыри Федорова являются комплексным аналогом другого известного фрактала — языков Арнольда. В курсе мы опишем строение пузырей Федорова. Все результаты получены недавно, самые старые из них относятся к 1999 году, а самые свежие — к 2011 году. Конструкция Арнольда находится на стыке вещественной динамики на окружности и голоморфной динамики. Поэтому в доказательствах применяется довольно разнообразная техника, как «вещественная», так и «комплексная». Этой технике будет посвящена значительная часть курса.

Краткий план курса

Диффеоморфизмы окружности

• Число вращения.
• Языки Арнольда.
• Связь отображений окружности с цепными дробями.
• Диофантовы и лиувиллевы числа вращения.
• Непрерывные сопряжения отображений окружности с поворотом: теорема Данжуа и пример Данжуа.
• Гладкие сопряжения с поворотом: теорема Эрманна-Йоккоза (эскиз доказательства).

Эллиптические кривые

• Функция Вейерштрасса, эллиптические функции.
• Модули эллиптических кривых.
• Неравенство Йоккоза.

Квазиконформные отображения

• Отображения с оптимальным квазиконформным отклонением: задача Грёча.
• Выпрямление конформных структур: уравнение Бельтрами.
• Теорема Альфорса-Берса: существование решения уравнения Бельтрами, зависимость решения от параметров.

Конструкция Арнольда: комплексное число вращения как модуль вспомогательной эллиптической кривой

• «Комплексное число вращения» для комплексного возмущения диффеоморфизма окружности.
• Аналитическая зависимость комплексного числа вращения от возмущения.
• Связь обычного числа вращения и предельного поведения комплексного числа вращения при возмущениях, близких к нулю.
• Пузыри Федорова.
• Геометрия пузырей: открытые проблемы.

Материалы к курсу

Листки с задачами:

• Числа вращения (1е занятие).

• Цепные дроби (2е занятие).

• Теорема Данжуа (3е занятие).

• Теорема Арнольда – Эрмана – Йоккоза: конспект лекции (4е занятие).

• Эллиптические кривые (5е занятие).

• Квазиконформные отображения (6е занятие).

• Конструкция Арнольда и пузыри.

Экзамен по курсу

Вот задачи к экзамену.

При решении задачи (или пункта задачи) можно пользоваться другими задачами и пунктами, даже если Вы их не решили. На работе стоит написать Ваш e-mail или другую контактную информацию, чтобы я могла сообщить Вам результаты.

Первый срок сдачи работ — 20 декабря. Работы, сданные до 20 декабря включительно, я смогу проверить до Нового года.

Второй срок сдачи работ — 20 февраля.