Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения <math>\rho(f)</math> итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на <math>\rho(f)</math>. Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени (<math>\alpha</math>- и <math>\omega</math>-предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) Либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на <math>\rho(f)</math>. В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота)

ii) Либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на <math>\rho(f)</math>: для некоторого отображения h степени 1,

<math>

h\circ f = R_{\rho(f)} \circ h. </math>

При этом множество C в точности является множеством точек роста h -- иными словами, с топологической точки зрения, h схопывает интервалы дополнения до C.

См. также

• Теорема Данжуа
• Пример Данжуа
• Языки Арнольда

Ссылки

• А .Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999.