Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Теорема Пуанкаре-Бендиксона — теорема, описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

Формулировка

Пусть задано векторное поле класса <math>C^1</math> на сфере <math>S^2</math> (или на плоскости <math>R^2</math>, или на области плоскости -- в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда <math>\omega</math>-предельное множество любой траектории это либо неподвижная точка, либо периодическая траектория, либо объединение особых точек и соединяющих их сепаратрис.

См. также

• Поток Черри
• Мешок Бендиксона

Литература

• [KH] А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 455. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
• [I] Ю. С. Ильяшенко, Эволюционные процессы и философия общности положения, М.: МЦНМО, 2007.