Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака — формальная нормальная форма векторного поля в окрестности своей особой точки.

Формулировка

Резонансы

По определению, резонансом для набора <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \C^n</math> называется равенство <math> \lambda_j=\langle \lambda, k\rangle \qquad (*) </math> где <math>k\in \Z^n, \quad k_1,\dots,k_n\ge 0, \quad k_1+\dots+k_n\ge 2</math>.

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n,</math> называется w:моном <math> z^k\partial/\partial z_j, </math> где <math>z^k=z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n},</math> и для <math>\lambda</math> и <math>k</math> выполнено (*).

Теорема Пуанкаре-Дюлака

Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре-Дюлака.

Связанные понятия

Области Пуанкаре и Зигеля

Говорят, что вектор <math>\lambda\in\C^n</math> принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\C\sim \R^2</math>. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор <math>\lambda</math> принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре-Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной ФНФ.

Теорема Левелля

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки <math>\dot{z}=\frac{A(t)}{t} z,</math> может рассматриваться как линейный по <math>z</math> вариант нормальной формы Пуанкаре-Дюлака для расширенной системы <math> \left\{\begin{array}{l} \dot{z}=A(t)z, \\ \dot{t}=t. \end{array} \right. </math>

Литература

• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7-140.
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations.