Курсы в МГУ/Просеминар 2011/21.10.2011

Ю. Кудряшов, «Векторные поля»

В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Такой геометрический объект называется векторным полем.

Векторное поле можно рассматривать как поле скоростей. Представим себе, что по нашей плоскости течёт вода, и скорость течения в любой точке равна нарисованному в этой точке вектору. Тогда траектория листика, упавшего в воду, называется фазовой кривой, а набор всех фазовых кривых — фазовым портретом векторного поля. Фазовая кривая в каждой своей точке касается вектора векторного поля.

Мы обсудим:

• как фазовый портрет может быть устроен локально (в маленькой окрестности какой-то точки);

• сколько нулей может быть у векторного поля на сфере («можно ли причесать ежа»);

• как будет вести себя траектория любого листика в далёком будущем.

Побочным результатом будет доказательство основной теоремы алгебры.

Приходите!