Категория:Открытые проблемы

Случайная динамика на окружности

Есть несколько отображений из окружности в себя. Что будет, если мы будем их итерировать в случайном порядке? То есть выбираем вероятности <math>p_1, \dots, p_k</math>.

Вопрос: как ведут себя случайные итерации?

Если отображения дают минимальную динамику, их обратные тоже, и есть хотя бы одно отображение северо-южного типа, то случайная динамика с вероятностью 1 будут сжимать. (Антонов, позже Клепцын—Нальский).

Альтернатива Баксендейла: для любой случайной динамики выполнено одно из двух:

• существует общая инвариантная мера;
• существует стационарная мера (для несимметричного процесса), для которой объёмный показатель Ляпунова строго отрицателен.

Определение стац. меры.

Задача: произведение меры Бернулли на <math>\Sigma_k^+</math> на стац. меру μ на M~— инвариантная мера.

Для почти всех точек по эргодической стационарной мере μ существует предел <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\ln Jac(f^n)|_x}n=\lambda_{vol}(\mu)</math>

Используя т. Баксендейла, Витя, Андрес и Бертран доказали, что для симметричной меры на диффеоморфизмах хватает условия отсутствия общей инвариантной меры.

Вопросы: доразобраться:

• правда ли, что стационарная мера всегда (почти) «единственна»?
• правда ли, что всегда есть сжатие?
• правда ли, что типичное косое произведение либо устойчиво минимально с устойчиво минимальным обратным, либо допускает деление на поглощающие и выталкивающие отрезки

Правда ли, что бывают перемежающиеся бассейны в конечной коразмерности?

Какая стационарная мера в «толстых аттракторах ступенчатых косых произведений»?

Есть окружность, динамика на ней, стационарная мера. Будет ли она абсолютно непрерывной?

Что известно?

Если у одного из отображений есть слишком сильное притяжение по сравнению с тем, с какой вероятностью оно применяется <math>\frac{1}{f'(a_3)^\alpha}\gg p_3</math>, то это запрещает <math>L_{1+\alpha}</math> плотность.

Есть семейство групп, в котором каждые два сопряжены топологически, но не гладко.

Вопросы: а если <math>f_i=id+\varepsilon\varphi_i</math>?

• <math>\forall i\,\varphi_i>0</math>?
• $φ_i$ не обращаются в ноль одновременно, а динамика симметрична?

Гипотеза Палиса

Хочется, чтобы было конечное число аттракторов, на каждом из которых SRB-мера.

Классификация Аносовских диффеоморфизмов

Гипотеза Смейла--Шуба: все диффеоморфизмы Аносова получаются алгебраической процедурой.

Например, следующий вопрос до сих пор открыт: бывают ли ДА на односвязных четырёхмерных многообразиях? Ключевое место --- продолжимость голономии. Как мы знаем, она может не продоложаться. Надо доказывать, что для ДА голономия продолжается всегда. Сейчас мы умеем доказывать, что есть одна кривая, вдоль которой всё продолжается.

Гипотеза Жиса про потоки Аносова

Работаем с потоками Аносова на трёхмерных многообразиях.

Сечение Биркгофа --- это трансверсаль, которая висит на нескольких периодических траекторий.

Посмотрим на сечение Биркгофа, склеим дырки в точки. Правда ли, что мы всегда можем найти сечение, которое является тором с дырками?

Специальная эргодическая теорема для растягивающих отображений

Окружность: добить Бисмарка

Убрать аналитичность и условие свободности группы.

Проблемы ε-невидимости

Гипотеза Зейферта для сохраняющего объём поля