Доклад:17.02.2012

О квантовании перемычек в уравнениях Джозефсона

17.02.2012, А. Глуцюк

Уравнение Джозефсона — это неавтономное дифференциальное уравнение на торе (произведении пространственной и временной окружностей), происходящее из физики сверхпроводников. Его правая часть — линейная комбинация синусов от временной и пространственной переменных и константы. Коэффициент при синусе от пространственной переменной мы фиксируем и возьмем его равным единице. Получается двупараметрическое семейство дифференциальных уравнений, зависящее от константы a и коэффициента b при синусе времени. Отображение Пуанкаре первого возвращения есть диффеоморфизм окружности. Его число вращение есть функция, зависящая от двух параметров. Языки Арнольда — это множества в пространстве параметров, где число вращения принимает целые значения.

Численные эксперименты показывают, что каждый язык Арнольда образует бесконечную цепочку примыкающих друг к другу областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении, и перемычки (точки примыкания соседних областей) имеют целочисленные абсциссы (a-координаты).

Один из подходов к исследованию семейства уравнений Джозефсона состоит в комплексификации и исследовании ассоциировании ассоциированного с ним семейства линейных дифференциальных уравнений с комплексным временемь которые имеют две иррегулярных особенности: в нуле и на бесконечности.

Оказывается, что целочисленность абсцисс перемычек легко следует из классических результатов о явлении Стокса из теории линейных уравнений. Об этом и о смежных вопросах из теории линейных уравнений будет рассказано в докладе.