Доклад:16.4.2010

Пусть <math>\nu(\lambda)</math> — распределение суммы <math>\sum_{n>0} \pm \lambda^n</math>, где число λ изменяется от 1/2 до 1, а плюс или минус (в значке ±) выбирается случайным образом с вероятностью 1/2. При каких λ полученная мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега? Этот фундаментальный вопрос возникает при изучении некоторых динамических систем (и мы поясним, как именно).

Исследование задачи началось в 30-х годах с работ Уинтнера и Эрдёша. Шестидесятилетний итог результатов (Wintner,'35; Erdos,'39; Garsia,'62; Kahane,'71; Solomyak,'95) можно обрисовать так: существует бесконечно много таких λ, что мера <math>\nu(\lambda)</math> сингулярна, но для почти всех λ по мере Лебега из отрезка [1/2;1] рассматриваемая мера абсолютно непрерывна.

Мы рассмотрим различные методы подхода к проблеме и обсудим возможности их обобщения, а также ответим на некоторые дополнительные вопросы, такие как гладкость меры в абсолютно непрерывном случае и хаусдорфова размерность ее носителя — в сингулярном.