Удвоение окружности

Отображение удвоения окружности — отображение <math>x\mapsto 2x \mod 1</math> окружности <math>S^1=\R/\Z</math> в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.

Свойства

• Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.
• Отображение удвоения является растягивающим.
• Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
• Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
• Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
• Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть.
• Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
• Топологическая энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.

Гипотеза Фюрстенберга

Гипотеза Фюрстенберга утверждает, что общими эргодическими инвариантными мерами отображений удвоения и утроения окружности могут быть только мера Лебега и меры, сосредоточенные на конечных орбитах.<ref>http://www.math.u-psud.fr/~benoist/prepubli/12takagi.pdf</ref> На текущий момент доказано только, что относительно любой эргодичной общей инвариантной меры, отличной от меры Лебега, отображения удвоения и утроения обратимы почти всюду.

Литература

<references/>

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9