Доклад:18.09.2009

Дорогие участники семинара!

В эту пятницу состоится доклад Наташи Гончарук "Отображение модулей".

По каждому диффеоморфизму окружности $$F$$ можно построить отображение верхней полуплоскости в себя --- отображение модулей. А именно, каждое число $$a+i\alpha$$ переходит в модуль $$\mu(a+i\alpha)$$ эллиптической кривой, получающейся при склейке полосы $$0 < = y < = \alpha$$ по эквивалентностям $$z ~ z+1$$ и $$(x, 0) ~ (f(x)+a, i\alpha)$$.

Рассмотрим предел

$$\lim_{\alpha \to 0} \mu(i\alpha)$$ (*).

По гипотезе В. И. Арнольда, доказанной Вадимом Молдавским, этот предел равен числу вращения $F$, ЕCЛИ ЭТО ЧИСЛО ВРАЩЕНИЯ ДИОФАНТОВО.

В случае РАЦИОНАЛЬНОГО числа вращения это не всегда так. Юлий Сергеевич и Вадим Молдавский доказали, что для ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ДИФФЕОМОРФИЗМА при достаточно малых значениях $$\alpha$$ значения $$\mu(i\alpha)$$ отделены от вещественной прямой. А моё рассуждение показывает, что для ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ДИФФЕОМОРФИЗМА (общего положения) предел (*) равен числу вращения диффеоморфизма $$F$$.

Результат получен теми же методами, что и результат Юлия Сергеевича и Вадима Молдавского.

В докладе я планирую рассказать результат Юлия Сергеевича с Вадимом Молдавским и своё рассуждение.

Определения эллиптической кривой и её модуля знать не требуется, они будут даны по ходу дела.

Наташа Гончарук.