Аттрактор Плыкина

Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла.

Конструкция

Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора, являющегося DA-диффеоморфизмом. А именно, диффеоморфизм Аносова <math>A=\left(\begin{smallmatrix} 2 &1 \\ 1&1 \end{smallmatrix} \right)^3</math> тора <math>T^2=\R^2/\Z^2</math> сохраняет точки <math>(0,0), (0,1/2), (1/2,0), (1/2,1/2)</math>, являющиеся неподвижными для отображения <math>I:x\mapsto -x</math>. Более того, можно провести DA-конструкцию, построив коммутирующий с I диффеоморфизм f, для которого эти точки становятся отталкивающими, причём отображение в окрестности этих точек является чистой (растягивающей) гомотетией.

Фактор тора по действию инволюции <math>I</math> — это двумерная сфера (а соответствующее накрытие — двулистное с ветвлением в четырёх точках), и коммутирующее с <math>I</math> отображение <math>f</math> спускается до диффеоморфизма сферы с четырьмя отталкивающими неподвижными точками. Перенос одной из них на бесконечность (позволяющий перейти к отображению диска в себя) заканчивает построение примера Плыкина.

Литература и ссылки

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 541. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
• Аттрактор Плыкина на сайте саратовской группы нелинейной динамики.