Курсы в МГУ/Просеминар 2014/07.11.2014

Д.Зубов, "Гиперболические диффеоморфизмы тора и (топологические) марковские цепи"

На прошлом занятии мы научились кодировать отображение удвоения окружности. Оказывается, что символическое кодирование является полезным инструментом для работы с более сложными динамическими системами. Можно рассматривать произвольное отображение множества X в себя, и кодировать его орбиты, разбивая X на конечное число подмножеств и определяя, какому подмножеству принадлежит каждая итерация точки x из X. Получается некоторая динамическая система на множестве последовательностей из конечного числа символов.

Важным примером символических динамических систем являются топологические цепи Маркова.

Пусть f - гомеоморфизм множества X на себя. Если удачно подобрать разбиение, то его можно сопрячь с некоторой цепью Маркова - такие разбиения называются марковскими. Мы увидим, как это делать, на примере линейного отображения тора в себя, известного как Arnold cat map, а заодно рассмотрим его некоторые хаотические свойства.