Доклад:27.9.2013

Локальная нормализация в косых произведениях

27.09.2013, Ольга Ромаскевич

Мы так часто сталкиваемся с косыми произведениями, а скорее, специально их рассматриваем, чтобы получить массивное множество в пространстве динамических систем, обладающее каким-нибудь хорошим (или плохим) свойством.

Рассмотрим гиперболическое косое произведение над линейным диффеоморфизмом компактного многообразия со слоем отрезок. К какой нормальной форме можно его привести?

Конечно, теорема Гробмана-Хартмана даёт сопряжение с линейной частью. Но сопрягающее отображение всего лишь непрерывно. Теорема Стернберга (для нерезонансных ростков) даёт уже гладкое сопряжение, но, к сожалению, портит всю красоту -- структуру косого произведения. Предположим, что мы хотим сохранить структуру косого произведения: мы будем искать тождественное по базе сопряжение, меняющее отображения только в слоях.

Оказывается, что в таких предположениях можно доказать, что косое произведение в окрестности неподвижной точки можно привести к линейному отображению на каждом слое: мультипликатор, конечно, зависит от слоя. При этом сопрягающее отображение может быть выбрано сколь угодно гладким по слою, но будет всего лишь гёльдеровым по базе, при этом показатель гёльдеровости довольно плохой -- близкий к нулю.

Я расскажу идеи доказательства этого результата (как водится, постаравшись избежать технических деталей), а также возможные применения к вопросу поиска остаточных множеств диффеоморфизмов многообразий с краем, обладающих толстым аттрактором.