Доклад:15.04.2011

Случайные симметричные блуждания на прямой

15.04.2011, В. Клепцын

В докладе я расскажу совсем свежую («с пылу, с жару») совместную работу с Бертраном Деруаном, Андресом Навасом и Камлешем Парвани (http://arxiv.org/abs/1103.1650). Мы рассматриваем случайные блуждания на прямой, порожденные конечным числом сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов прямой, без предположения об их гладкости, но зато с предположением симметричности — вероятности применения отображений <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> совпадают.

Если исключить вырожденные случаи (такие, как наличие общей неподвижной точки или полусопряжённость группе параллельных переносов) — то оказывается, что конечной стационарной меры не бывает никогда. Зато, можно доказать, что бесконечная стационарная мера бывает всегда. Более того, оказывается, что блуждание всегда рекуррентно: случайная траектория с вероятностью 1 осциллирует между плюс и минус бесконечностью, в частности, бесконечное число раз возвращается на любой достаточно большой интервал. Наконец, исключительно интересный эффект возникает, если (в случае минимальной динамики) сделать замену, переводящую стационарную меру в меру Лебега. После такой замены, каждое из отображений становится липшицевым (на всей прямой!), причём с ограниченным сдвигом: <math>|g(x)-x|</math> ограничено равномерно по прямой. Наконец, имеет место свойство Дерриенника — при всех <math>x</math> матождидание образа <math>\sum p_j g_j(x)</math> совпадает с <math>x</math> (это даже более сильное свойство — в собственно свойстве Дерриенника это требуется лишь при больших по модулю <math>x</math>).