Доклад:22.04.2011

Отображение Баума-Ботта

22.04.2011, Сергей Трифонов

Определим степень полиномиального поля направлений на проективной комплексной плоскости, как число касаний этого поля и проективной прямой общего положения. Обозначим через $B(d)$ пространство полей степени $d$. Типичное поле направлений из $B(d)$ имеет фиксированное число особых точек, и собственные числа линеаризации поля в них связаны между собой равенством Баума-Ботта. Естественно возникает вопрос: существуют ли другие функционально независимые аналитические условия на собственные числа линеаризаций?

Мы докажем, что в классе $B(d)$ ответ на этот вопрос — «нет». Другими словами, отображение Баума-Ботта в типичной точке $B(d)$ имеет соответствующий ранг $d^2+d$.

Также мы обсудим, что известно про отображение Баума-Ботта для классов полиномиальных полей направлений $A(d)$, получающихся из векторных полей степени $d$ на плоскости продолжением на бесконечную прямую.