Доклад:9.11.2012

Патологические слоения

Ольга Ромаскевич

09.11.2012

Оптимистический и часто наивный подход в теории динамических систем состоит в том, что хорошие явления сохраняются при малых возмущениях. К сожалению, это не всегда так. И, более того, бывает что и плохие, даже ужасные эффекты устойчивы при малых возмущениях. Я расскажу об одном из таких явлений, а именно о патологических слоениях - слоениях с нарушением свойства абсолютной непрерывности.

Оказывается, что существует слоение трехмерного тора на окружности и множество полной меры на трехмерном торе такие, что это множество пересекает каждый лист слоения не более чем в одной точке. Наличие таких патологических слоений представляет собой эффект, названный Flaminio кошмаром Фубини: ведь здесь неприменима теорема Фубини.

Первый такой пример был построен А. Катком в восьмидесятых, а в конце девяностых Шуб и Вилкинсон в своей статье «Pathological foliations and removable zero exponents» построили открытое множество таких примеров, правда, с помощью немного иной техники. Я попробую рассказать основную технику, использующуюся в обоих примерах, не вдаваясь в вычисления.

Все построения проводятся в духе частичной и неравномерной гиперболичности, поэтому хорошо помнить о том, что это такое. Но это необязательно, потому что я по доброй традиции напомню все определения, даже диффеоморфизма Аносова.