Доклад:18.04.2011

Случайные симметричные блуждания на прямой

Витя Клепцын

В докладе я расскажу совсем свежую ("с пылу, с жару") совместную работу с Бертраном Деруаном, Андресом Навасом и Камлешем Парвани (http://arxiv.org/abs/1103.1650). Мы рассматриваем случайные блуждания на прямой, порожденные конечным числом сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов прямой, без предположения об их гладкости, но зато с предположением симметричности -- вероятности применения отображений f и f^{-1} совпадают.

Если исключить вырожденные случаи (такие, как наличие общей неподвижной точки или полусопряжённость группе параллельных переносов) -- то оказывается, что конечной стационарной меры не бывает никогда. Зато, можно доказать, что бесконечная стационарная мера бывает всегда. Более того, оказывается, что блуждание всегда рекуррентно: случайная траектория с вероятностью 1 осциллирует между плюс и минус бесконечностью, в частности, бесконечное число раз возвращается на любой достаточно большой интервал. Наконец, исключительно интересный эффект возникает, если (в случае минимальной динамики) сделать замену, переводящую стационарную меру в меру Лебега. После такой замены, каждое из отображений становится липшицевым (на всей прямой!), причём с ограниченным сдвигом: |g(x)-x| ограничено равномерно по прямой. Наконец, имеет место свойство Дерриенника -- при всех x матождидание образа \sum p_j g_j(x) совпадает с x (это даже более сильное свойство -- в собственно свойстве Дерриенника это требуется лишь при больших по модулю x).

Приглашаются все желающие! Ваш Витя.