Доклад:15.10.2010

08.10.10: Числа вращения и модули эллиптических кривых

Наташа Гончарук

Речь пойдет о свойствах конструкции, предложенной В.И.Арнольдом (см. «Дополнительные главы теории ОДУ», начало параграфа 27).

Пусть f --- аналитический диффеоморфизм окружности, F --- его поднятие на прямую. Пусть a+ib --- комплексное число, b>0. Возьмем полосу 0< Im z< b и факторизуем её окрестность по отношениям эквивалентности z ~ F(z)+a+ib и z ~ z+1. Мы получим эллиптическую кривую (тор со структурой комплексного многообразия).

Мы будем исследовать модуль \mu(a+ib) этой эллиптической кривой как функцию от a+ib. Оказывается, что поведение такой функции при малых b тесно связано с функцией a \mapsto p(f+a), где p --- число вращения.

В докладе будет дан обзор имеющихся результатов о функции \mu; некоторые из них мы докажем. Окажется, в частности, что аналитическую функцию \mu можно аналитически продолжить на некоторые интервалы вещественной оси. Их образы образуют фракталоподобное множество --- счетный набор «пузырей», «растущих» в верхнюю полуплоскость из рациональных точек вещественной оси.

Все необходимые понятия будут определены по ходу дела. Приглашаются все желающие!