Доклад:09.09.2010

Гипотеза. Пусть свойство Prop. выполняется для открытого множества в пространстве косых произведений на некотором многообразии. Тогда оно выполняется для открытого множества в пространстве (C^r-)гладких отображений этого многообразия.

Идея возможного доказательства. Поскольку малое возмущение косого произведения сопряжено с (близким к исходному) косым произведением, с помощью сопряжения можно переносить свойство Prop. с косого произведения на его возмущение. Однако отображение голономии сопряжения вдоль слоев оказывается лишь гельдеровым, а не абсолютно непрерывным. Поэтому теорема Фубини неприменима, и с помощью этого рассуждения можно переносить только топологические свойства.

Стратегия Ю.С.Ильяшенко и А.С.Городецкого заключается в том, чтобы, оценив константу Гельдера для сопряжения и хаусдорфову размерность исключительного множества для исходного косого произведения, воспользоваться леммой Фальконера и показать, что для возмущения размерность исключительного множества также отлична от полной (и, тем самым, метрическое свойство выполнено).

На семинаре обсуждена эта стратегия, а также разобран пример А.Б.Катка неприменимости теоремы Фубини в указанном выше случае ("кошмар Фубини").