Теорема Адамара — Перрона

Теорема Адамара — Перрона утверждает, что в достаточно малой окрестности гиперболической неподвижной точки существуют гладкие сепаратриссы, касающиеся в этой точке устойчивого и неустойчивого подпространств соответственно.

Доказательство

Доказательство теоремы обычно проводится с помощью метода преобразования графиков. В достаточно малой окрестности особой точки, замена координат приводит отображение к виду

<math>

F:\left({x \atop y}\right) \mapsto \left({\Lambda x +\dots \atop M y +\dots}\right), </math> где все собственные значения матрицы <math>\Lambda</math> меньше единицы, а матрицы <math>M</math> — больше.

Идея метода преобразования графиков состоит в том, чтобы рассмотреть действие <math>F</math> на графиках функций <math>y=\varphi(x)</math>, определённых в (фиксированной) малой окрестности начала координат. Оказывается, что на множестве липшицевых графиков с достаточно малой константой Липшица это отображение действительно корректно определено (образом графика будет именно график, и не произойдёт потери однозначности — "опрокидывания"); кроме того, такое отображение оказывается (в силу сжатия отображением <math>F</math> по оси <math>y</math>) сжимающим. Отсюда будет следовать существование графика, являющегося неподвижной точкой такого преобразования — этот график и является неустойчивым многообразием неподвижной точки. Далее, показывая, что преобразование графиков задаёт и сжимающее в норме <math>C^1, C^2, \dots</math> отображение, получаем, что искомое многообразие является также <math>C^1, C^2, \dots</math>-гладким.

См. также

• Теорема Гробмана — Хартмана

Литература

• А. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999. — <math>\S 6.2</math>