Курсы в МГУ/Просеминар 2014/31.10.2014/task

Удвоение окружности и символическая динамика

Рассмотрим отображение удвоения окружности <math>T: x \rightarrowtail 2x</math> (mod 1). Разобьём окружность на две части <math>M_0 = [0, \frac{1}{2})</math> и <math>M_1 = [\frac{1}{2}, 1)</math>. Каждой точке окружности можно сопоставить судьбу -- последовательность из нулей и единиц, бесконечную вправо -- следующим образом: если <math>f^{\circ k}(x) \in M_{i_k}</math>, то на <math>(k+1)</math>-ом месте мы пишем число <math>i_k</math>. Пространство последовательностей из нулей и единиц, бесконечных вправо, мы будем обозначать <math>\Omega^+</math>.

1. (a) Найти судьбу точки <math>\frac{3}{5}</math>

(b) Найти точку на окружности с судьбой 010010010...

(c) Убедиться в том, что судьба точки совпадает с двойчной записью её координаты.

2. Всякой ли судьбе (последовательности из <math>\Omega^+</math>) соответствует точка на окружности?

3. Доказать, что у разных точек разные судьбы.

4. Указать множество точек на окружности, соответствующих последовательностям

<math>\omega = \omega_1...\omega_n... \in \Omega^+</math> таким, что:

(a) <math>\omega_2 = 1, \omega_4 = 0</math>;

(b) <math>\omega_{i_1} = j_1, ..., \omega_{i_k} = j_k</math>;

(c) Найти суммарную длину интервалов из пункта (b) и убедиться, в том, что она зависит только от <math>k</math>.

5. (а) Описать судьбы точек минимального периода <math>n</math>.

(b) Доказать, что периодические точки всюду плотны.

6. Найти точку со всюду плотной орбитой.

7. Введём метрику в пространстве последовательностей <math>\Omega^+</math> согласно следующей формуле:

<math>dist(\omega, \omega') = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\omega_n - \omega'_n|}{2^n}.</math>

   Доказать, что отображение <math>h: S^1 \to \Omega^+</math>, сопоставляющее точке на орбите её судьбу, непрерывно. 

Эргодическая теория

1. Доказать, что поворот окружности <math>R_{\alpha}: x \rightarrowtail x+{\alpha}</math> (mod 1), <math>\alpha \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}</math> не является перемешиванием.

2. (Закон больших чисел). Пусть мы играем в орлянку, и пусть вероятность выпадения орла равна <math>\frac{1}{2}</math>, равно как и вероятность выпадения решки. Доказать, что если <math>S_n</math> -- число выпавших орлов за <math>n</math> бросков монеты, то почти наверное (с вероятностью 1) <math> \lim\limits_{n\to \infty} \frac{S_n}{n} = \frac{1}{2}. </math> Указание: Показать сначала, что сдвиг Бернулли в пространстве последовательностей является перемешиванием, а затем воспользоваться эргодической теоремой.