Языки Арнольда

Языки Арнольда — описательное название поведения числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых повоторов.

Постановка задачи

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

<math>

f_{\alpha, \varepsilon}(x)=x+\alpha + \varepsilon\sin (2\pi x) , \quad x,\alpha \in S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}, \, \varepsilon\in[0,1/10] . </math>

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию <math>\rho(\alpha,\varepsilon)</math>, сопоставляющую параметрам <math>(\alpha,\varepsilon)</math> число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

<math>

E_{p/q}:=\{(\alpha,\varepsilon) \mid \rho(\alpha,\varepsilon)=p/q \}, </math> и называются языками Арнольда.

Описание поведения

При <math>\varepsilon=0</math> отображение <math>f_{\alpha}</math> является поворотом на угол <math>\alpha</math>. Соответственно, <math>\rho(\alpha,0)=\alpha</math>, и рациональное значение <math>p/q</math> принимается только в соответствующей точке <math>\alpha=p/q</math>

Напротив, при сколь угодно малом <math>\varepsilon_0>0</math> для каждого <math>p/q</math> пересечение <math>E_{p/q}</math> с горизонтальным отрезком <math>\varepsilon=\varepsilon_0</math> оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только когда, когда у отображения <math>f^q</math> имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство <math>f_{\alpha,\varepsilon}</math> при любом фиксированном <math>\varepsilon</math> монотонно по <math>\alpha</math>, при увеличении <math>\alpha</math> наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю <math>E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}</math> ) у <math>f_{\alpha,\varepsilon_0}</math> появляется полуустойчивая периодическая орбита периода <math>q</math> точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя "по часовой стрелке" (в направлении убывания <math>x</math>).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра <math>\alpha</math> дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров <math>\alpha</math> периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница <math>E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}</math> — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении <math>\alpha</math> периодические точки периода <math>q</math> исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого <math>\alpha</math> отображение <math>f_{\alpha,\varepsilon_0}^q</math> тождественно, то соответствующее <math>E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}</math> состоит из одной точки <math>(\alpha,\varepsilon_0)</math>. Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество <math>E_{p/q}</math> это своеобразный "язык", "растущий" из точки <math>(p/q,0)</math>, и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального <math>\varphi</math> множество <math>E_{\varphi}=\{\rho(\alpha,\varepsilon)=\varphi\}</math> это непрерывная кривая, начинающаяся из точки <math>(\varphi,0)</math>.

Стоит отметить, что (как следует из всего вышесказанного) при любом фиксированном <math>\varepsilon>0</math> число вращения, как функция параметра <math>\alpha</math>, является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестицы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров <math>\alpha</math>, соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки

• А. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999.