Доклад:3.9.2010

Числа Гурвица

Виктор Клепцын

Я расскажу об одном замечательном сюжете, который узнал из курсов Ландо, Бурмана и Казаряна в Дубне -- о числах Гурвица.

Мы начнём с трёх вопросов:

1. Сколько существует различных деревьев на n пронумерованных вершинах?
2. Сколькими способами можно разложить цикл (12...n) в произведение (n-1) транспозиции?
3. Сколько существует (нормированных) полиномов степени n с данными (n-1) критическими значениями?

Оказывается, что все эти три вопроса это на самом деле один и тот же вопрос; ответ на него можно найти как чисто комбинаторными методами (теорема Кэли и Matrix-Tree formula, решающие вопрос о подсчёте деревьев), так и применяя многомерную теорему Безу для подсчёта числа многочленов. И связь между ними проходит через перечисление топологических разветвлённых накрытий сферы собой с циклическим ветвлением в "бесконечности".

Можно также исследовать общий вопрос о подсчёте числа способов разложить заданную подстановку в произведение заданного числа транспозиций; этому соответствует случай накрывающей поверхности большего рода и выбор другой подстановки над "бесконечностью". Соответствующая производящая функция оказывается удовлетворяющей некоторому уравнению в частных производных (cut and join), а решение выписывается через полиномы Шура -- "производящие функции" характеров неприводимых представлений симметрической группы.

Несмотря на обилие "страшных слов" в анонсе выше, я надеюсь, что доклад будет понятен начинающим, -- и постараюсь показать, как в этом сюжете играют совершенно различные области математики, от комплексного анализа до теории представлений.

Приглашаются все желающие!