Доклад:17.09.2010

1. <math>\tau</math>-функция ("thickness") канторовского множества - это максимум отношения длины отрезка, соседнего с выкидываемым, к длине самого выкидываемого интервала (если при построении интервалы выкидываются в порядке убывания их длин). Оказывается, с помощью т.н. Gap Lemma, с помощью <math>\tau</math>-функций можно оценить типичность явления Ньюхауса, доказать теорему Холла о разложимости произвольного числа в сумму цепных дробей с ограниченными знаменателями и т.д.

Вопрос. Какова гладкость <math>\tau</math>-функций множеств пересечения с трансверсалями к слоениям у подков Смейла в <math>C^r</math>-гладких однопараметрических семействах?

Ответ (гипотеза): <math>C^{r-2}</math>.

2. Вопрос. Каковы множества, высекаемые на трансверсалях возмущениями косых произведений над подковами со слоем окружность? Верно ли, что хаусдорфова размерность таких множеств непрерывно зависит от параметров?

3. Рассмотрим отображение <math>T\colon R^3\to R^3, T(x,y,z)=(2xy-z,x,y)</math> ("Trace map") с первым интегралом <math>I=x^2+y^2+x^2-2xyz-1</math>.

Вопрос. Как выглядят гиперболические множества на линиях уровня <math>I>0</math>?

4. Разрежем торт на несколько кусков-секторов, и рассмотрим кусочно-непрерывное (т.е. непрерывное на кусках торта) отображение, аффинно переводящее каждый из кусков внутрь круга-торта.

Вопрос. Каковы свойства инвариантной меры для этого отображения?