Доклад:14.9.2012

Фермионы и теорема Куранта-Гельфанда

В. Клепцын

Я расскажу об одном красивом утверждении, упомянутом в "Обыкновенных дифференциальных уравнениях" Арнольда в качестве дополнительной задачи в самом конце: если взять первые n собственных функций задачи Штурма-Лиувилля <math>u_{xx}+q(x)u = \lambda u</math> на некотором отрезке, то нули любой их нетривиальной линейной комбинация делят этот отрезок на не больше, чем <math>n</math> частей.

Это утверждение было анонсировано Курантом в случае произвольной размерности как обобщение его теоремы о том, что нули n-й собственной функции оператора Лапласа делят многообразие на не более, чем n частей. Однако, доказательство этой обобщённого утверждения так и не было никогда опубликовано. Более того, сначала Арнольд обнаружил, что следствия из этого обобщения противоречили бы результатам квантовой теории поля, а затем Виро построил к этому утверждению контрпример уже для случая сферических гармоник (эта история описана в — увы, вышедшей уже в 2011-м году — работе Владимира Игоревича "Топологические свойства собственных колебаний математической физики").

Тем не менее, в случае размерности <math>d=1</math> обобщённое утверждение оказывается верным, и доказывается с помощью предложенного И. М. Гельфандом рассуждения — перехода к n-фермионной задаче. Этому рассуждению (и различным "ответвлениям в стороны") и будет посвящён рассказ.