Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014-task

Задачи к лекции 3 "Суммы канторовых множеств" (ЧЕРНОВИК)

Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек {a+b | a \in A, b

\in B}.

1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у когорого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.

Подкова Смейла

Рассмотрим два прямоугольника П_1 = {0<x<1, 0.2<y<0.4} и П_2 = {0<x<1, 0.6<y<0.8}. Пусть отображение T на первом из них задано формулой (x,y) -> ((x+1)/5, 5y-1), а на втором --- (x,y) -> ((x+1)/5, 5y-3). На рисунке изображены прямоугольники П_1, П_2 и их образы. Отображение T называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение T действует так:

(0,a_1a_2a_3... ; 0,b_1b_2b_3...) -> (0,b_1a_1a_2a_3...; 0,b_2b_3...)

то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину П_1. Что можно сказать о пятиричной записи её координат?

б) (устойчивое слоение) Пусть под действием T точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) ->0</math>.

Что можно сказать о пятиричной записи их координат?