Доклад:4.10.2013

Нетипичность диффеоморфизмов окружности с лиувиллевыми числами вращения

04.10.2013, Наталия Гончарук

Доклад посвящен разбору статьи M.Tsujii «Rotation number and one-parameter families of circle diffeomorphisms».

Иррациональные числа бывают двух типов: лиувиллевы (хорошо приближаются рациональными числами) и диофантовы (плохо приближаются рациональными числами). Имея более строгое определение, легко доказать, что множество лиувиллевых чисел имеет меру 0.

Если рассмотреть семейство отображений <math>f+a</math>, то множество параметров <math>a</math>, для которых число вращения

• рационально — является счетным набором отрезков. В этом случае <math>f+a</math> имеет периодические орбиты.
• диофантово — имеет положительную меру (Herman, 1977). В этом случае <math>f+a</math> гладко сопряжен повороту.
• лиувиллево — имеет нулевую меру (Tsujii,1991). В этом случае, как показал Арнольд, гладкого сопряжения с поворотом может не быть.

Доклад посвящен этому результату Tsujii. По ходу дела я расскажу, как связана орбита иррационального поворота с цепной дробью, и что такое искажение. Предварительных знаний не требуется.