Соленоид Смейла — Вильямса

Соленоид Смейла-Вильямса -- пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Определение

Отображением соленоида называют отображение

<math>

F:S^1\times D \to S^1\times D </math> полнотория в себя, заданное как

<math>

F(\varphi,z) = (2\varphi, \frac{1}{2}e^{i\varphi} + \frac{1}{10}z). </math> Здесь диск <math>D</math> для удобства рассматривается как единичный диск на комплексной плоскости: <math>D=\{|z|\le 1 \}</math>.

Максимальный аттрактор <math>A_{max}(F)</math> этого отображения (как и всю соответствующую динамическую систему) называют соленоидом Смейла-Вильямса.

Свойства

• Отображение соленоида гиперболично.
• Сам соленоид оказывается гомеоморфен многообразию, получаемому при реализации надстройки над одометром -- отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах <math>\Z_2</math>.
• Динамика на соленоиде допускает символическое кодирование: точки соленоида можно (почти взаимно-однозначно) сопоставить двусторонне-бесконечным последовательностям нулей и единиц, причём применению отображения будет соответствовать левый сдвиг на пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.

Ссылки

• Аттрактор Смейла-Вильямса на сайте "Саратовской группы нелинейной динамики".

Литература

• Синай Я.Г., Вершик А.М., Добрушин Р.Л., Динамические системы-2, ВИНИТИ.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1.