Ликбез 2008

Введение в теорию динамических систем

Просеминар, осенний семестр 2008-2009 уч.г.

Руководители: Денис Волк, Виктор Клепцын, Алексей Глуцюк По пятницам в 16:45, Аудитория 12-07, первое занятие 3 октября

В жизни встречается много эволюционных процессов (механических, химических и т. д.), состояние которых в «следующий» момент времени полностью определяется их состоянием в «предыдущий». Математической формализацией этого требования является понятие «динамической системы» с «дискретным» или «непрерывным» временем. Динамическая система с дискретным временем задаётся отображением пространства состояний в себя (каждое состояние переходит в «следующее»), а с непрерывным --- дифференциальным уравнением (например, уравнением Ньютона).

На семинаре будут разбираться основные примеры динамических систем, в основном с дискретным временем: отображения окружности, подкова Смейла, Аносовские диффеоморфизмы тора и т. д. Оказывается, многие интересные явления и открытые вопросы возникают уже при рассмотрении динамических систем на таких простых пространствах как отрезок, окружность, тор.

Для понимания материала семинара желательно знание основ математического анализа в рамках программы 1-го курса. Часть курса будет рассказываться самими слушателями: вам будут предложены на выбор темы докладов, и из этой части будет рассказано то, на что найдутся добровольцы!

Программа курса (один из вариантов):

1. Растягивающие отображения окружности.
2. Поворот окружности, число вращения, теорема Данжуа.
3. Подкова Смейла.
4. Диффеоморфизм тора <math>\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)</math>.
   1. Посмотреть на это «руками».
   2. Плотность периодических орбит.
   3. Символическая динамика.
5. Нормальные формы вблизи неподвижных точек.
6. Сжатые отображения.

Пока общие планы:

1. Векторные поля. Гладкая зависимость от начальных условий и параметра (без доказательства).
2. Выпрямление. Особые точки.
3. Глобальные свойства ДС. Минимальность, транзитивность, перемешивание. Энтропия?
4. Классификация динамических систем. Устойчивость. Препятствия к гладкому сопряжению. Препятствия к топологическому сопряжению. Орбитальная топологическая эквивалентность.
5. Предельные множества потоков и отображений. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. (Листок у Юры и Тани.)
6. Малые знаменатели.
7. Нормальные формы.
8. Периодические орбиты, точки, бифуркцации. Удвоение.
9. Надстройка Смейла.
10. Гиперболические особые и неподвижные точки. Теоремы Адамара-Перрона и Гробмана-Хартмана. Гиперболические инвариантные множества.
11. Транзитивность, эргодичность.
12. Окружность. Число вращения. Теорема Данжуа. Пример Данжуа.
13. Различные определения аттракторов.
14. Топологическая классификация диффеоморфизмов Аносова на 2-торе.

Координирует курс Денис Волк. Помощь приветствуется.