Заглавная страница

Dynamical Systems

Welcome to the official site of the seminar on Dynamical Systems supervised by Yu.S.Ilyashenko.

The seminar on Dynamical Systems supervised now by A.Gorodetski and Yu. Ilyashenko continues the activities started 30 years ago in the seminar on Differential Equations organized by N. Nekhoroshev and Yu. Ilyashenko.

The modern theory of dynamical systems is one of the main tools of natural studies. As a mathematical discipline it spreads from physics and probability to multidimentional complex analysis and algebraic geometry.

Some key problems are: How chaos occurs in deterministic systems? Where is the boundary between differential equations and probability theory in the description of the limit behavior of dynamical systems? Is our Solar System stable? What the attractor of a typical dynamical system looks like? What are the characteristic features of the foliations of a complex plane by analytic curves? What may be said about the number and location of limit cycles of a planar polynomial vector field? These questions (two of them going back to Poincare and Hilbert) are or were in the realm of the investigations of the seminar.

One of the traditions of the seminar is a part of a general tradition of Moscow Mathematical School. It is involving young students in the creative work on the very early stage of their education. Several new results are obtained by the third and second year undergraduate students participating the seminar.

Current activities

Seminar at MSU

Доклад Вити Клепцына "Случайные симметричные блуждания на прямой".

В докладе я расскажу совсем свежую ("с пылу, с жару") совместную работу с Бертраном Деруаном, Андресом Навасом и Камлешем Парвани (http://arxiv.org/abs/1103.1650). Мы рассматриваем случайные блуждания на прямой, порожденные конечным числом сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов прямой, без предположения об их гладкости, но зато с предположением симметричности -- вероятности применения отображений f и <math>f^{-1}</math> совпадают.

Если исключить вырожденные случаи (такие, как наличие общей неподвижной точки или полусопряжённость группе параллельных переносов) -- то оказывается, что конечной стационарной меры не бывает никогда. Зато, можно доказать, что бесконечная стационарная мера бывает всегда. Более того, оказывается, что блуждание всегда рекуррентно: случайная траектория с вероятностью 1 осциллирует между плюс и минус бесконечностью, в частности, бесконечное число раз возвращается на любой достаточно большой интервал. Наконец, исключительно интересный эффект возникает, если (в случае минимальной динамики) сделать замену, переводящую стационарную меру в меру Лебега. После такой замены, каждое из отображений становится липшицевым (на всей прямой!), причём с ограниченным сдвигом: <math>|g(x)-x|</math> ограничено равномерно по прямой. Наконец, имеет место свойство Дерриенника -- при всех x матождидание образа <math>\sum p_j g_j(x)</math> совпадает с x (это даже более сильное свойство -- в собственно свойстве Дерриенника это требуется лишь при больших по модулю x).

Приглашаются все желающие!

Seminar at IUM

Пузыри Федорова: новые результаты

Наташа Гончарук

Пузыри Федорова --- это фрактальное множество, которое строится по диффеоморфизму окружности.

Конструкция, предложенная В.И. Арнольдом в 1978 г. ('Дополнительные главы ОДУ', начало главы 'Эллиптические кривые') позволяет по аналитическому диффеоморфизму окружности f построить голоморфное отображение \mu верхней полуплоскости в себя, чем-то похожее на отображение a \mapsto \rho(f+a). Образ вещественной прямой под действием этого отображения содержит вещественную прямую и еще счетное количество петель в верхней полуплоскости (пузыри Федорова).

За прошедший месяц мы с Ксавье Бюффом получили несколько новых результатов о пузырях. Во-первых, отображение \mu действительно непрерывно продолжается на вещественную ось (поэтому такое определение пузырей корректно. Раньше мы пользовались другим определением). Во-вторых, вдали от вещественной прямой это отображение стремится к сдвигу на комплексный вектор, и теперь мы знаем --- на какой. По ходу дела мы получили оценку на размер пузырей.

Попробую рассказать все доказательства, но не в ущерб понятности.

Приглашаются все желающие!

Наташа.

Links

• Plan:Fall 2010 (Russian)
• I-Ya translation (Russian)
• Russian gazette about IUM (Russian)
• Grant numbers