Доклад:16.10.2009

Производная Шварца функции f есть выражение от первой, второй и третьей производных функции f, сохраняющееся под действием проективных преобразований. Рассмотрим на цилиндре S^1 \times [0,1] отображение F=(kx,f_x(y)) такое, что производная Шварца функции f_x S(f) знакопостоянна по x. Из эргодичности kx знак производной Шварца управляет изменением двойного отношения (0:a:b:1) для любых точек а и b вертикальных отрезков.

Идея 1. Если S(f)<0, существует измеримая фунция g, что точки выше графика у=g(x) притягиваются к верхней окружности цилиндра, а точки ниже графика - к нижнему основанию под действием итераций отображения F. Это становится верно и просто доказуемо в предположении, что g определена не везде, а почти всюду, и кроме того, бассейны притяжения окружностей имеют положительную меру. Кроме того, полученные бассейны перемежаются, но этот результат доказан не будет.

Идея 2. Если S(f)>0, существует асимптотическая (естественная, физическая) мера на цилиндре. Это значит, для почти всякой (в смысле Лебега) орбиты для F временное среднее равно пространственному среднему по асимптотической мере. Почти всякая (в смысле Лебега) орбита равномерно распределена относительно этой меры. Это верно, если показатель Ляпунова оснований окружностей строго положителен.