Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014/task: различия между версиями
Нет описания правки |
|||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности. | 2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности. | ||
3. Запишем координаты (x,y) в | 3. Запишем координаты (x,y) в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: | ||
<math> | <math> | ||
(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), | (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о | 4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о | ||
пятеричной записи её координат? | |||
б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>. | б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>. | ||
Что можно сказать о | Что можно сказать о пятеричной записи их координат? | ||
Версия от 11:52, 4 октября 2014
Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств"
Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b \in B\}.</math>
Подкова Смейла
Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math> и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. Отображение <math>T</math> называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.
Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК)
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.
2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.
3. Запишем координаты (x,y) в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: <math> (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), </math>
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.
4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о пятеричной записи её координат?
б) (устойчивое слоение) Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.
Что можно сказать о пятеричной записи их координат?
