Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014/task: различия между версиями
(выделила определения отдельно) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== | == Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" == | ||
'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b | '''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b | ||
\in B\}.</math> | \in B\}.</math> | ||
'''Подкова Смейла''' | '''Подкова Смейла''' | ||
| Строка 14: | Строка 9: | ||
и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. | и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. | ||
Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского. | Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского. | ||
== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) == | |||
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого | |||
одна из вершин в нуле. Найдите их сумму. | |||
2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности. | |||
3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: | 3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: | ||
Версия от 23:41, 27 сентября 2014
Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств"
Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b \in B\}.</math>
Подкова Смейла
Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math> и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. Отображение <math>T</math> называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.
Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК)
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.
2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.
3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: <math> (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), </math>
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.
4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о пятиричной записи её координат?
б) (устойчивое слоение) Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.
Что можно сказать о пятиричной записи их координат?
