Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014/task

Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК)

Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b \in B\}.</math>

1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.

Подкова Смейла

Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math> и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. Отображение <math>T</math> называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: <math> (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), </math>

то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о пятиричной записи её координат?

б) (устойчивое слоение) Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.

Что можно сказать о пятиричной записи их координат?