|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| 08.10.10: '''Числа вращения и модули эллиптических кривых'''
| |
|
| |
|
| ''Наташа Гончарук''
| |
|
| |
| Речь пойдет о свойствах конструкции, предложенной В.И.Арнольдом
| |
| (см. «Дополнительные главы теории ОДУ», начало параграфа 27).
| |
|
| |
| Пусть f --- аналитический диффеоморфизм окружности, F --- его поднятие на
| |
| прямую. Пусть a+ib --- комплексное число, b>0.
| |
| Возьмем полосу 0< Im z< b и факторизуем её окрестность по отношениям
| |
| эквивалентности z ~ F(z)+a+ib и z ~ z+1. Мы получим эллиптическую кривую (тор
| |
| со структурой комплексного многообразия).
| |
|
| |
| Мы будем исследовать модуль \mu(a+ib) этой эллиптической кривой как функцию от
| |
| a+ib. Оказывается, что поведение такой функции при малых b тесно связано с
| |
| функцией a \mapsto p(f+a), где p --- число вращения.
| |
|
| |
| В докладе будет дан обзор имеющихся результатов о функции \mu; некоторые из
| |
| них мы докажем. Окажется, в частности, что аналитическую функцию \mu можно
| |
| аналитически продолжить на некоторые интервалы вещественной оси. Их образы
| |
| образуют фракталоподобное множество --- счетный набор «пузырей», «растущих» в
| |
| верхнюю полуплоскость из рациональных точек вещественной оси.
| |
|
| |
| Все необходимые понятия будут определены по ходу дела. Приглашаются все желающие!
| |
