Предельный цикл

Предельным циклом векторного поля на плоскости или, более общо, на каком-либо двумерном многообразии называется периодическая траектория этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.

Теоремы Пуанкаре-Бендиксона и Андронова-Понтрягина утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости (физически говоря — состояние которой задаётся двумя вещественными параметрами, скажем, напряжением и током, или положением и скоростью точки на прямой) может стремиться только к положению равновесия или к предельному циклу.

Динамика в окрестности предельного цикла

Как следует из определения, с каждой из сторон предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково — цикл называется соответственно отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание — говорят о полуустойчивом цикле.

Поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на трансверсали к циклу, — для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Так, цикл притягивающий или отталкивающий тогда или только тогда, когда эта точка соответственно притягивающая или отталкивающая. Цикл называется гиперболическим, если соответствующая неподвижная точка гиперболична — то есть, имеет производную, отличную от <math>\pm 1</math>. В этом случае, если производная по модулю больше 1, цикл неустойчив, если меньше — устойчив.

Стоит отметить, что обычно — в частности, для динамики на плоскости или на сфере (вообще, исключая только случай динамики на неориентируемом многообразии) — отображение Пуанкаре сохраняет ориентацию, поэтому часто говорят о просто производной отображения Пуанкаре, не оговаривая отдельно взятие её модуля.

Гиперболические предельные циклы не разрушаются малыми возмущениями — если у исходного векторного поля был гиперболический предельный цикл, то у любого поля, <math>C^1</math>-близкого к нему, также найдётся близкий к исходному гиперболический предельный цикл.

Бифуркации

Седлоузловая бифуркация

Наиболее простой бифуркацией, связанной с предельными циклами, является седлоузловая бифуркация: два гиперболических предельных цикла, отталкивающий и притягивающий, сближаются. В момент бифуркации они сливаются, образуя один полуустойчивый цикл, который при дальнейшем изменении параметра исчезает.

С точки зрения комплексификации (в случае аналитического векторного поля) эта бифуркация может рассматриваться как уход предельного цикла в комплексную область.

Катастрофа голубого неба

Однако, на бутылке Клейна или при рассмотрении комплексифицированных предельных циклов, возможна и более сложная бифуркация — так называемая катастрофа голубого неба. А именно, при стремлении параметра к критическому значению длина (одного!) предельного цикла начинает нарастать, стремясь к бесконечности, и поэтому он не продолжается на сам момент бифуркации.

16-я проблема Гильберта

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов векторных полей на плоскости. В отличие от первой — алгебраической — части, требующей описать расположение овалов алгебраической кривой заданной степени, даже для квадратичных векторных полей неизвестно существование равномерной оценки сверху на число предельных циклов.

См. также

• Седлоузловая бифуркация
• Бифуркация Андронова — Хопфа
• Катастрофа голубого неба
• 16-я проблема Гильберта
• Гипотеза Аносова

Литература

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1
• Ю. С. Ильяшенко, Динамические системы и философия общности положения, М.:МЦНМО, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
• Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354