Полицикл

Полицикл, в который входит седловая особая точка (два раза), и две её сепаратрисные связки, а также его отображение Пуанкаре

Полицикл векторного поля (также используется термин сепаратрисный многоугольник) — это замкнутая инвариантная кривая, состоящая из особых точек и соединяющих их отрезков фазовых кривых. Различные задачи, связанные с предельными циклами (такие как проблема Дюлака, 16-я проблема Гильберта, проблема Гильберта-Арнольда и др.) зачастую сводятся к изучению бифуркаций векторных полей, содержащих полициклы. Поскольку векторное поле задает автономное дифференциальное уравнение и соответствующую динамическую систему, говорят также о полициклах уравнений и систем.

Формальное определение

Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек <math>p_1,\ldots,p_n</math> (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых <math>\gamma_1,\ldots,\gamma_n</math> (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга <math>\gamma_j</math> соединяет точки <math>p_{j}</math> и <math>p_{j+1}</math>, где <math>p_{n+1}\equiv p_1</math>, <math>j=1,\ldots,n</math>.

Цикличность полицикла

Говоря неформально, цикличность полицикла — это количество предельных циклов, «рождающихся из полицикла» в результате малого возмущения системы. Чтобы придать этому определению строгий смысл, необходимо указать, какие именно малые возмущения рассматриваются — иными словами, включить систему с полициклом в некоторое семейство. Точное определение звучит следующим образом:

Рассмотрим некоторое семейство векторных полей <math>\{v_\varepsilon(x)\}</math>, зависящее от (вообще говоря, многомерного) параметра <math>\varepsilon\in \mathbb R^k</math>. Пусть при <math>\varepsilon=\varepsilon_*</math> система имеет полицикл <math>\gamma</math>. Цикличностью полицикла <math>\gamma</math> в семействе <math>\{v_\varepsilon\}</math> называется такое минимальное число <math>\mu</math>, что найдется такая окрестность полицикла <math>U\supset \gamma</math> и такая окрестность <math>V</math> критического значения параметра (<math>\mathbb R^k \supset V \ni \varepsilon_*</math>), что для всех <math>\varepsilon \in V</math> в области <math>U</math> одновременно существует не более <math>\mu</math> предельных циклов, причем w:хаусдорфово расстояние между этими циклами и <math>\gamma</math> стремится к нулю при <math>\varepsilon \to \varepsilon_*</math>.

Источники

• В. Ю. Калошин. Проблема Гильберта — Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве. Функц. анализ и его прил., 35:2 (2001), 78–81.