Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014/task: различия между версиями
Нет описания правки |
(теперь почти числовик) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b | '''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b | ||
\in B\}.</math> | \in B\}.</math> | ||
'''Канторовское множество K_a, 0<a<1. ''' | |||
Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины (1-a)/2. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал длины a(1-a)/2, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством K_a. В частности, K_{1/3} --- это обычное канторовское множество. | |||
'''Подкова Смейла''' | '''Подкова Смейла''' | ||
| Строка 9: | Строка 13: | ||
и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. | и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. | ||
Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского. | Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского. | ||
== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) == | == Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) == | ||
| Строка 15: | Строка 21: | ||
одна из вершин в нуле. Найдите их сумму. | одна из вершин в нуле. Найдите их сумму. | ||
2. | 2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма K_a + K_b содержит интервал. | ||
б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма K_a + K_b не содержит интервала. | |||
3. Запишем координаты (x,y) в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: | 3. Запишем координаты (x,y) точки подковы в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: | ||
<math> | <math> | ||
(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), | (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), | ||
| Строка 23: | Строка 31: | ||
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x. | то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x. | ||
Версия от 21:44, 19 октября 2014
Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств"
Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b \in B\}.</math>
Канторовское множество K_a, 0<a<1.
Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины (1-a)/2. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал длины a(1-a)/2, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством K_a. В частности, K_{1/3} --- это обычное канторовское множество.
Подкова Смейла
Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math> и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. Отображение <math>T</math> называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.
Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК)
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.
2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма K_a + K_b содержит интервал.
б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма K_a + K_b не содержит интервала.
3. Запишем координаты (x,y) точки подковы в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так: <math> (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), </math>
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.
