Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014-task: различия между версиями
(создала страницу) |
(делаю покрасивше) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовых множеств" (ЧЕРНОВИК) == | |||
'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек {a+b | a \in A, b | |||
Сумма | |||
\in B}. | \in B}. | ||
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у когорого | 1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у когорого | ||
одна из вершин в нуле. Найдите их сумму. | одна из вершин в нуле. Найдите их сумму. | ||
2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности. | 2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности. | ||
Подкова Смейла | '''Подкова Смейла''' | ||
Рассмотрим два прямоугольника П_1 = {0<x<1, 0.2<y<0.4} и П_2 = {0<x<1, 0.6<y<0.8}. Пусть | Рассмотрим два прямоугольника П_1 = {0<x<1, 0.2<y<0.4} и П_2 = {0<x<1, 0.6<y<0.8}. Пусть | ||
отображение T на первом из них задано формулой (x,y) -> ((x+1)/5, 5y-1), а на втором --- (x,y) -> | отображение T на первом из них задано формулой (x,y) -> ((x+1)/5, 5y-1), а на втором --- (x,y) -> | ||
((x+1)/5, 5y-3). На рисунке изображены прямоугольники П_1, П_2 и их образы. | ((x+1)/5, 5y-3). На рисунке изображены прямоугольники П_1, П_2 и их образы. | ||
Отображение T называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве | |||
Отображение T называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве | |||
типа канторовского. | типа канторовского. | ||
3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение T действует | 3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение T действует | ||
так: | так: | ||
| Строка 33: | Строка 26: | ||
4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину П_1. Что можно сказать о | 4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину П_1. Что можно сказать о | ||
пятиричной записи её координат? | пятиричной записи её координат? | ||
б) (устойчивое слоение) Пусть под действием T точки p и q сближаются: dist (T^n(p), T^n(q)) ->0. | б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием T точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) ->0</math>. | ||
Что можно сказать о пятиричной записи их координат? | Что можно сказать о пятиричной записи их координат? | ||
Текущая версия от 22:57, 27 сентября 2014
Задачи к лекции 3 "Суммы канторовых множеств" (ЧЕРНОВИК)
Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек {a+b | a \in A, b
\in B}.
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у когорого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.
2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.
Подкова Смейла
Рассмотрим два прямоугольника П_1 = {0<x<1, 0.2<y<0.4} и П_2 = {0<x<1, 0.6<y<0.8}. Пусть отображение T на первом из них задано формулой (x,y) -> ((x+1)/5, 5y-1), а на втором --- (x,y) -> ((x+1)/5, 5y-3). На рисунке изображены прямоугольники П_1, П_2 и их образы. Отображение T называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.
3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение T действует так:
(0,a_1a_2a_3... ; 0,b_1b_2b_3...) -> (0,b_1a_1a_2a_3...; 0,b_2b_3...)
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.
4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину П_1. Что можно сказать о пятиричной записи её координат?
б) (устойчивое слоение) Пусть под действием T точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) ->0</math>.
Что можно сказать о пятиричной записи их координат?
