Почти регулярное отображение

Формальное определение

Пусть <math>f</math> — росток в нуле отображения положительной полуоси в себя, <math>f\colon (\mathbb R_+, 0)\to (\mathbb R_+, 0)</math>. Перейдём в логарифмическую карту <math>\zeta=-\log x</math>, то есть к ростку <math>\widetilde f\colon (\mathbb R_+, +\infty)\to(\mathbb R_+, +\infty)</math>, <math>\widetilde f\colon\zeta\mapsto-\log(f(\exp(-\zeta)))</math>.

Определение Исходный росток <math>f</math> называется почти регулярным, если он аналитичен вне нуля, и для некоторого положительного числа <math>C</math> отображение <math>\widetilde f</math> удовлетворяет следующим требованиям:

• отображение <math>\widetilde f</math> продолжается в стандартную квадратичную область <math>\Omega_C</math>;
• в этой области отображение <math>\widetilde f</math> раскладывается в следующий асимптотический ряд:

<math>\widetilde f(\zeta)=a\zeta+b+\sum_{i=0}^\infty P_i(\zeta)\exp(-\nu_i\zeta),</math>

где <math>\nu_i</math> — возрастающая последовательность положительных чисел.

Примеры

Пример 1. Ограничение любого аналитического в нуле отображения прямой на положительную полуось почти регулярно. Другими словами, любое регулярное отображение почти регулярно.

Пример 2. Отображение <math>x\mapsto x+\exp\left(-\frac 1x\right)</math> не является почти регулярным. Действительно, после перехода в логарифмическую карту получаем отображение

<math>\zeta\mapsto -\log\left(e^{-\zeta}+\exp(-e^\zeta)\right)=\zeta-\log\left(1+\exp(\zeta-e^\zeta)\right).</math>

С одной стороны, при вещественных значениях <math>\zeta</math> для любого <math>\nu>0</math> имеем

<math>\zeta-\log\left(1+\exp(\zeta-e^\zeta)\right)=\zeta-\log(1+o(\exp(-\nu \zeta)))=z+o\left(e^{-\nu\zeta}\right),</math>

поэтому асимптотический ряд может быть только тождественным. С другой стороны, при <math>\Im\zeta=\pi</math> имеем <math>\Re e^\zeta=0</math>, поэтому

<math>|\exp\left(\zeta-e^\zeta\right)|=\exp(\Re\zeta),</math>

откуда

<math>\log(1+\exp\left(\zeta-e^\zeta\right))\ge \log(\exp(\Re\zeta)-1)\approx\Re\zeta,</math>

что больше любой экспоненты <math>e^{-\nu\zeta}</math>.

Свойства

Лемма. В логарифмической карте образ почти регулярного отображения содержит некоторую стандартную квадратичную область.

Лемма. Композиция почти регулярных ростков — почти регулярный росток.

Лемма. Если почти регулярный росток имеет бесконечно много неподвижных точек вблизи нуля, то это росток тождественного отображения.