Почти регулярное отображение

Формальное определение

Пусть <math>f</math> — росток в нуле отображения положительной полуоси в себя, <math>f\colon (\mathbb R_+, 0)\to (\mathbb R_+, 0)</math>. Перейдём в логарифмическую карту, то есть к ростку <math>\widetilde f\colon (\mathbb R_+, +\infty)\to(\mathbb R_+, +\infty)</math>, <math>\widetilde f\colon\zeta\mapsto\log(f(\exp(\zeta)))</math>.

Определение Исходный росток <math>f</math> называется почти регулярным, если для некоторого положительного числа <math>C</math> отображение <math>\widetilde f</math> удовлетворяет следующим требованиям:

• отображение <math>\widetilde f</math> продолжается в стандартную квадратичную область <math>\Omega_C</math>;
• в этой области отображение <math>\widetilde f</math> раскладывается в следующий асимптотический ряд:

<math>\widetilde f(\zeta)=a\zeta+b+\sum_{i=0}^\infty P_i(\zeta)\exp(-\nu_i\zeta),</math>

где <math>\nu_i</math> — возрастающая последовательность положительных чисел.

Свойства

Лемма. В логарифмической карте образ почти регулярного отображения содержит некоторую стандартную квадратичную область.

Лемма. Композиция почти регулярных ростков — почти регулярный росток.

Лемма. Если почти регулярный росток имеет бесконечно много неподвижных точек вблизи нуля, то это росток тождественного отображения.