Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака: различия между версиями
(перенёс) |
(wikify) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака''' — [[формальная нормальная форма]] [[векторное поле|векторного поля]] в окрестности своей [[особая точка|особой точки]]. | '''Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака''' — [[формальная нормальная форма]] [[w:векторное поле|векторного поля]] в окрестности своей [[w:особая точка|особой точки]]. | ||
== Формулировка == | == Формулировка == | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
где <math>k\in \Z^n, \quad k_1,\dots,k_n\ge 0, \quad k_1+\dots+k_n\ge 2</math>. | где <math>k\in \Z^n, \quad k_1,\dots,k_n\ge 0, \quad k_1+\dots+k_n\ge 2</math>. | ||
'''Резонансным мономом''' векторного поля, линейная часть которого приведена к [[жорданова нормальная форма|жордановой нормальной форме]] с [[собственное значение|собственными значениями]] <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n,</math> называется [[моном]] | '''Резонансным мономом''' векторного поля, линейная часть которого приведена к [[w:жорданова нормальная форма|жордановой нормальной форме]] с [[w:собственное значение|собственными значениями]] <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n,</math> называется [[w:моном]] | ||
<math> | <math> | ||
z^k\partial/\partial z_j, | z^k\partial/\partial z_j, | ||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
=== Теорема Пуанкаре-Дюлака === | === Теорема Пуанкаре-Дюлака === | ||
[[Формальный степенной ряд|Формальное]] векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны. | [[w:Формальный степенной ряд|Формальное]] векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны. | ||
Указанный в теореме вид называется '''резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре-Дюлака'''. | Указанный в теореме вид называется '''резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре-Дюлака'''. | ||
| Строка 22: | Строка 22: | ||
== Связанные понятия == | == Связанные понятия == | ||
=== Области Пуанкаре и Зигеля === | === Области Пуанкаре и Зигеля === | ||
Говорят, что вектор <math>\lambda\in\C^n</math> принадлежит '''области Пуанкаре''', если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\C\sim \R^2</math>. В противном случае говорят, что он принадлежит '''области Зигеля'''. Наконец, в случае, если ноль принадлежит [[выпуклая оболочка|выпуклой оболочке]] вместе с некоторой своей [[окрестность]] | Говорят, что вектор <math>\lambda\in\C^n</math> принадлежит '''области Пуанкаре''', если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\C\sim \R^2</math>. В противном случае говорят, что он принадлежит '''области Зигеля'''. Наконец, в случае, если ноль принадлежит [[w:выпуклая оболочка|выпуклой оболочке]] вместе с некоторой своей [[w:окрестность|окрестностью]], говорят, что вектор <math>\lambda</math> принадлежит '''строгой области Зигеля'''. | ||
В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре-Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле ''[[аналитическая функция|аналитически]]'' эквивалентно своей резонансной ФНФ. | В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре-Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле ''[[w:аналитическая функция|аналитически]]'' эквивалентно своей резонансной ФНФ. | ||
=== Теорема Левелля === | === Теорема Левелля === | ||
Версия от 10:15, 24 октября 2012
Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака — формальная нормальная форма векторного поля в окрестности своей особой точки.
Формулировка
Резонансы
По определению, резонансом для набора <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \C^n</math> называется равенство <math> \lambda_j=\langle \lambda, k\rangle \qquad (*) </math> где <math>k\in \Z^n, \quad k_1,\dots,k_n\ge 0, \quad k_1+\dots+k_n\ge 2</math>.
Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n,</math> называется w:моном <math> z^k\partial/\partial z_j, </math> где <math>z^k=z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n},</math> и для <math>\lambda</math> и <math>k</math> выполнено (*).
Теорема Пуанкаре-Дюлака
Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.
Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре-Дюлака.
Связанные понятия
Области Пуанкаре и Зигеля
Говорят, что вектор <math>\lambda\in\C^n</math> принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\C\sim \R^2</math>. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор <math>\lambda</math> принадлежит строгой области Зигеля.
В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре-Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной ФНФ.
Теорема Левелля
Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки <math>\dot{z}=\frac{A(t)}{t} z,</math> может рассматриваться как линейный по <math>z</math> вариант нормальной формы Пуанкаре-Дюлака для расширенной системы <math> \left\{\begin{array}{l} \dot{z}=A(t)z, \\ \dot{t}=t. \end{array} \right. </math>
Литература
- В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7-140.
- Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations.
