Число вращения

Число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности -- среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.

Определение

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности <math>f:S^1\to S^1</math> рассматривают его поднятие <math>F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> для накрытия окружности прямой <math>S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>. Число сдвига этого поднятия определяется как предел

<math>

\tau(F)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n}, </math> где <math>x\in\mathbb{R}</math> -- произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

<math>\rho(f):=\tau(F) \mod 1 \, \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>.

Свойства

• Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если <math>h:S^1\to S^1</math> -- отображение степени 1, такое, что <math>f\circ h = h\circ g</math>, где <math>f,g</math> -- гомеоморфизмы окружности, то числа вращения f и g совпадают.
• Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
• Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение f -- C²-гладкое, а его число вращения <math>\rho(f)</math> иррационально, то f сопряжено повороту на <math>\rho(f)</math>.
• Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма -- отображение <math>\rho:Homeo(S^1)\to S^1</math> непрерывно.

Литература

• А. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999.