Топологическая сопряжённость

Динамическая система <math>(X,f)</math> называется топологически сопряжённой динамической системе <math>(Y,g)</math>, если найдётся такой гомеоморфизм <math>h:X\to Y</math>, что <math>g\circ h= h\circ f</math>, или, что то же самое,

<math>g= h\circ f\circ h^{-1}.</math>

Иными словами, (непрерывная) замена координат <math>y=h(x)</math> превращает динамику итераций f на X в динамику итераций g на Y.

Регулярность сопрягающего отображения

Стоит отметить, что даже в случае, когда X и Y — многообразия, а отображения f и g гладкие (или даже аналитические), отображение h достаточно часто оказывается всего лишь непрерывным. Так, гладкое сопряжение не может изменить значения мультипликаторов в неподвижной или периодической точке; напротив, для структурно устойчивых удвоения окружности или диффеоморфизма Аносова двумерного тора периодические точки всюду плотны, а типичное возмущение изменяет все эти мультипликаторы.

Впрочем, сопряжение гиперболических отображений оказывается гёльдеровым, а сопряжение гладких или аналитических диффеоморфизмов окружности с диофантовым числом вращения также оказывается, соответственно, гладким или аналитическим.

В случае, если отображение h оказывается гёльдеровым, (<math>C^r</math>-)гладким или аналитическим, говорят соответственно о гёльдеровой, (<math>C^r</math>-)гладкой или аналитической сопряжённости.

Литература

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 70-83. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9