Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Курсы в МГУ/Просеминар 2011/25.11.2011: различия между версиями
(написала анонс для АИ --- задним числом.) |
м (3 версии) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии 1 участника) | |||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
У такой конструкции есть недостаток: близкие положения шарика соответствуют очень далёким точкам плоскости. Чтобы избавиться от этого недостатка, отождествим те образы бильярдного стола, которые отличаются сдвигом. Плоскость превратится в тор, а траектория шарика намотается на этот тор. | У такой конструкции есть недостаток: близкие положения шарика соответствуют очень далёким точкам плоскости. Чтобы избавиться от этого недостатка, отождествим те образы бильярдного стола, которые отличаются сдвигом. Плоскость превратится в тор, а траектория шарика намотается на этот тор. | ||
Эта конструкция и называется '''конструкцией Землякова – Катка'''. Она применима для любого бильярда в многоугольнике. Вместо тора в общем случае получается сфера с несколькими ручками. На этой поверхности есть дополнительная структура — '''плоская структура''' с несколькими коническими особенностями (особенности возникают из углов многоугольного стола). Например, для правильного пятиугольника получается | Эта конструкция и называется '''конструкцией Землякова – Катка'''. Она применима для любого бильярда в многоугольнике с рациональными углами. Вместо тора в общем случае получается сфера с несколькими ручками. На этой поверхности есть дополнительная структура — '''плоская структура''' с несколькими коническими особенностями (особенности возникают из углов многоугольного стола). Например, для правильного пятиугольника получается плоская структура на кренделе с одной конической особенностью. | ||
Текущая версия от 15:02, 24 октября 2012
А. И. Буфетов, «Бильярды в многоугольниках с рациональными углами»
Александр Игоревич рассказал о конструкции Землякова – Катка для многоугольных бильярдов с рациональными углами.
На многоугольном бильярдном столе рассмотрим точечный бильярдный шарик, который упруго отражается от стенок стола. Такая динамическая система называется бильярдом в многоугольнике.
Как устроена траектория шарика для бильярда в прямоугольнике? Вместо того, чтобы отражать шарик, ударившийся о стенку стола, отразим бильярдный стол относительно этой стенки; тогда шарик будет двигаться по прямой. Если рассмотреть образы бильярдного стола при всевозможных отражениях, они заполнят всю плоскость, а шарик будет двигаться по прямой на этой плоскости.
У такой конструкции есть недостаток: близкие положения шарика соответствуют очень далёким точкам плоскости. Чтобы избавиться от этого недостатка, отождествим те образы бильярдного стола, которые отличаются сдвигом. Плоскость превратится в тор, а траектория шарика намотается на этот тор.
Эта конструкция и называется конструкцией Землякова – Катка. Она применима для любого бильярда в многоугольнике с рациональными углами. Вместо тора в общем случае получается сфера с несколькими ручками. На этой поверхности есть дополнительная структура — плоская структура с несколькими коническими особенностями (особенности возникают из углов многоугольного стола). Например, для правильного пятиугольника получается плоская структура на кренделе с одной конической особенностью.
