Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Удвоение окружности: различия между версиями
Материал из DSWiki
Перейти к навигацииПерейти к поиску
(перенёс) |
м (4 версии) |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии 1 участника) | |||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
* Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2. | * Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2. | ||
* Отображение удвоения является [[растягивающее отображение|растягивающим]]. | * Отображение удвоения является [[растягивающее отображение|растягивающим]]. | ||
* Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое. | * Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом [[w:гёльдерово отображение|гёльдерово]], но, вообще говоря, не гладкое. | ||
* Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость|структурно устойчиво]]. | * Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость|структурно устойчиво]]. | ||
* Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[накрытие]] | * Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[w:накрытие|накрытием]], полусопряжена отображению удвоения. | ||
* Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение '''зуб пилы''': <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть. | * Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение '''зуб пилы''': <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть. | ||
* Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со [[сдвиг Бернулли|сдвигом Бернулли]], при этом [[мера Лебега|мере Лебега]] соответствует [[мера Бернулли]] с весами (1/2,1/2). | * Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со [[сдвиг Бернулли|сдвигом Бернулли]], при этом [[w:мера Лебега|мере Лебега]] соответствует [[мера Бернулли]] с весами (1/2,1/2). | ||
* [[ | * [[Топологическая энтропия]] отображения удвоения равна логарифму двух. | ||
== Гипотеза Фюрстенберга == | |||
удвоения и утроения окружности могут быть только мера Лебега и меры, сосредоточенные на конечных орбитах. На текущий момент доказано, что относительно любой эргодичной общей инвариантной меры, отличной от меры Лебега, отображения удвоения и утроения обратимы почти всюду. | [[Гипотеза Фюрстенберга об общих инвариантых мерах|Гипотеза Фюрстенберга]] утверждает, что общими эргодическими инвариантными мерами отображений | ||
удвоения и утроения окружности могут быть только мера Лебега и меры, сосредоточенные на конечных орбитах.<ref>http://www.math.u-psud.fr/~benoist/prepubli/12takagi.pdf</ref> На текущий момент доказано только, что относительно любой эргодичной общей инвариантной меры, отличной от меры Лебега, отображения удвоения и утроения обратимы почти всюду. | |||
== Литература == | == Литература == | ||
<references/> | |||
* ''А. Б. Каток, Б. Хасселблат.'' Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9 | * ''А. Б. Каток, Б. Хасселблат.'' Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9 | ||
[[Category: Энциклопедия]] | [[Category: Энциклопедия]] | ||
Текущая версия от 15:02, 24 октября 2012
Отображение удвоения окружности — отображение <math>x\mapsto 2x \mod 1</math> окружности <math>S^1=\R/\Z</math> в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.
Свойства
- Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.
- Отображение удвоения является растягивающим.
- Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
- Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
- Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
- Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть.
- Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
- Топологическая энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.
Гипотеза Фюрстенберга
Гипотеза Фюрстенберга утверждает, что общими эргодическими инвариантными мерами отображений удвоения и утроения окружности могут быть только мера Лебега и меры, сосредоточенные на конечных орбитах.<ref>http://www.math.u-psud.fr/~benoist/prepubli/12takagi.pdf</ref> На текущий момент доказано только, что относительно любой эргодичной общей инвариантной меры, отличной от меры Лебега, отображения удвоения и утроения обратимы почти всюду.
Литература
<references/>
- А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
