Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Кольцо Эрмана: различия между версиями
(+cat) |
м (5 версий) |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии 1 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Кольцо Эрмана''' — в [[голоморфная динамика|голоморфной динамике]], один из типов неподвижной или периодической [[компонента связности|компоненты связности]] [[множество Фату|области Фату]]. Такая компонента связности [[гомеоморфизм|топологически эквивалентна]] кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть [[топологическая сопряжённость|сопряжена]] иррациональному повороту этого кольца. | '''Кольцо Эрмана''' — в [[голоморфная динамика|голоморфной динамике]], один из типов неподвижной или периодической [[w:компонента связности|компоненты связности]] [[множество Фату|области Фату]]. Такая компонента связности [[w:гомеоморфизм|топологически эквивалентна]] кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть [[топологическая сопряжённость|сопряжена]] иррациональному повороту этого кольца. | ||
== Конструкция == | == Конструкция == | ||
[[File:Herman-ring-1.png|right|thumb|300px|[[Множество Жюлиа]] для рационального отображения, имеющего кольца Эрмана]] | |||
Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении [[произведение Бляшке|произведений Бляшке]]. А именно, произведения Бляшке — отображения вида | Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении [[w:произведение Бляшке|произведений Бляшке]]. А именно, произведения Бляшке — отображения вида | ||
: <math> | : <math> | ||
f(z)=\lambda \prod_{j=1}^n \frac{z-a_j}{1-\bar{a_j}z}, \quad |\lambda|=1, \quad |a_j|\neq 1, \, | f(z)=\lambda \prod_{j=1}^n \frac{z-a_j}{1-\bar{a_j}z}, \quad |\lambda|=1, \quad |a_j|\neq 1, \, | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
сохраняют единичную окружность <math>\{|z|=1\}</math>, и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек <math>a_j</math>. | сохраняют единичную окружность <math>\{|z|=1\}</math>, и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек <math>a_j</math>. | ||
Подбором точек <math>a_j</math> можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было [[диффеоморфизм]] | Подбором точек <math>a_j</math> можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было [[w:диффеоморфизм|диффеоморфизмом]] с [[диофантово число|диофантовым]] [[число вращения|числом вращения]]. Теорема Эрмана-Йоккоза утверждает в таком случае, что f аналитически сопряжено соответствующему повороту. Такое локальное сопряжение далее распространяется до границы содержащей единичную окружность компоненты Фату — оказывающейся, тем самым, кольцом Эрмана. | ||
Примером реализации такой конструкции может служить [[рациональное отображение]] степени 3, | Примером реализации такой конструкции может служить [[w:рациональное отображение|рациональное отображение]] степени 3, | ||
: <math> | : <math> | ||
f(z) = e^{2 \pi i t}\cdot \frac{z^2(z - 4)}{1 - 4z}, | f(z) = e^{2 \pi i t}\cdot \frac{z^2(z - 4)}{1 - 4z}, | ||
Текущая версия от 15:01, 24 октября 2012
Кольцо Эрмана — в голоморфной динамике, один из типов неподвижной или периодической компоненты связности области Фату. Такая компонента связности топологически эквивалентна кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть сопряжена иррациональному повороту этого кольца.
Конструкция
Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении произведений Бляшке. А именно, произведения Бляшке — отображения вида
- <math>
f(z)=\lambda \prod_{j=1}^n \frac{z-a_j}{1-\bar{a_j}z}, \quad |\lambda|=1, \quad |a_j|\neq 1, \, </math> сохраняют единичную окружность <math>\{|z|=1\}</math>, и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек <math>a_j</math>.
Подбором точек <math>a_j</math> можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было диффеоморфизмом с диофантовым числом вращения. Теорема Эрмана-Йоккоза утверждает в таком случае, что f аналитически сопряжено соответствующему повороту. Такое локальное сопряжение далее распространяется до границы содержащей единичную окружность компоненты Фату — оказывающейся, тем самым, кольцом Эрмана.
Примером реализации такой конструкции может служить рациональное отображение степени 3,
- <math>
f(z) = e^{2 \pi i t}\cdot \frac{z^2(z - 4)}{1 - 4z}, </math> где константа <math>t=0.6151732\dots</math> выбирается так, чтобы число вращения ограничения f на единичную окружность равнялось бы <math>(\sqrt{5}-1)/2</math>.
Литература
- Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 189—194. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4
