Доклад:Об асимптотическом поведении решений одного репликаторного уравнения

Об асимптотическом поведении решений одного репликаторного уравнения

Артем Новожилов («Прикладная математика — 1», МИИТ), совместно с Ф.Березовской (Howard University, USA) и Г.Каревым (NCBI/NIH, USA)

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

(*) <math>\frac{d p_i}{dt}=p_i\bigl(({\mathbf{Ap}})_i-{\mathbf{p}}^\tau\cdot {\mathbf{Ap}}\bigr),\quad i=1,\ldots,n</math>

Здесь <math>{\mathbf{p}}(t)=(p_1(t),\ldots,p_n(t))^\tau</math> — неизвестная вектор-функция, <math>{\mathbf{A}}</math> — действительная <math>n\times n</math> матрица, <math>\tau</math> означает транспонирование, <math>{\mathbf{p}}^{\tau}\cdot{\mathbf{q}}</math> — стандартное скалярное произведение, <math>({\mathbf{Ap}})_i</math> — <math>i</math>-ый элемент вектора <math>{\mathbf{Ap}}</math>. Пространство состояний динамической системы (*) — симплекс <math>S_n=\{{\mathbf{p}}\colon {\mathbf{p}}\geq 0,\,\sum_{i=1}^np_i=1\}</math>. Система ОДУ (*) часто называется репликаторным уравнением и возникает, например, в математической генетике, моделях химической эволюции и эволюционной теории игр.

В докладе планируется

• Объяснить происхождение репликаторных уравнений (*) и привести краткий обзор известных результатов о поведении их решений.
• Доказать следующую теорему:

Пусть элементы матрицы <math>{\mathbf{A}}</math> имеют вид

<math>a_{ij}=a_ib_j-c_i,\quad i,j=1,\ldots,n,</math>

для трех заданный векторов <math>{\mathbf{a}}=(a_1\ldots,a_n)^\tau,\,{\mathbf{b}}=(b_1\ldots,b_n)^\tau,\,{\mathbf{c}}=(c_1\ldots,c_n)^\tau</math>, где элементы этих векторов — рациональные неотрицательные числа, для которых выполнено

<math>a_i(c_j - c_k) + a_j(c_k - c_i) + a_k(c_i - c_j)\neq 0</math>

для любых различных <math>i,j,k=1,\ldots,n</math>. Тогда для почти всех начальных условий решения системы (*) стремятся к глобальному аттрактору, который может быть либо вершиной симплекса <math>{\mathbf{e}}_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)</math> (единица на <math>i</math>-м месте), либо положением равновесия на скелете симплекса (то есть таким положением равновесия, у которого ровно две ненулевых координаты).