Диффеоморфизм Аносова

Диффеоморфизмы Аносова -- введённый Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

Определение

Диффеоморфизм <math>f:M\rightarrow M</math> -- диффеоморфизм Аносова, если он гиперболичен на всём многообразии M. А именно: существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, E^u и E^s, инвариантных относительно динамики, причём на E^u динамика экспоненциально растягивает, а на E^s экспоненциально сжимает:

<math>

\|f^n(v)\| \le c_1\,\lambda^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^s, </math>

<math>

\|f^n(v)\| \ge c_2\,\mu^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u, </math> где <math>c_1,c_2>0</math> и <math>\mu>1>\lambda>0</math> -- константы.

Свойства

• Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C¹-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой сопряжен f некоторым гомеоморфизмом h:

<math>

f\circ h = h\circ g. </math>

Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой (правда, лишь непрерывной!) координат.

• Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

<math>

\|f^{-n}(v)\| \le c_3\, \mu^{-n} \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u. </math>

Примеры

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения <math>\left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right)</math> на двумерном торе <math>\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2</math>.

Более общо, если матрица <math>A\in SL_n(\mathbb{Z})</math> не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор <math>\mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n</math> (корректно определённый, поскольку A сохраняет <math>\mathbb{Z}^n</math>) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература

• А. Каток, Б. Хассельблатт, Введение в теорию динамических систем.